Afgeleiden - Wiskunde - Theorie - Toelatingsexamen arts en tandarts

Inleiding

We herinneren ons:
de richtingscoëfficiënt van een rechte is m = Dy/Dx.
Beschouw volgende figuur:
f(x0 + h) – f(x0)

Richtingscoëfficiënt van de raaklijn

Als we nu h steeds kleiner laten worden, dus de limiet voor h gaande naar 0 nemen, dan gaat de groene curve steeds meer naar de raaklijn (blauw) in het punt (x0, y0).
Voor de richtingscoëfficiënt van de raaklijn geldt dus:
Als we h steeds kleiner nemen (dus naar 0 gaat), wordt de groene rechte steeds meer de raaklijn.
m = lim
f(x0 + h) – f(x0)
h -> 0

Afgeleide

De afgeleide van een functie f(x):
Ook genoteerd als D f(x) of
De afgeleide van een functie is dus ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve in elk punt (x, f(x)).
f’(x) = lim
f(x + h) – f(x)
h -> 0
d f(x)
(Leibnitz notatie)

Voorbeeld

Voor f(x) = x2:
f’(x) =
h -> 0
f(x + h) – f(x)
h -> 0
(x + h)2 – x2
h -> 0
x2 + 2xh + h2 – x2
h -> 0
2xh + h2
h -> 0
2x + h = 2x

Voorbeeld

Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de curve f(x) = x2 in het punt (1,1)?
Wel, hier is f’(x) = 2x. Dus in het punt met x = 1 geeft dit als richtingscoëfficiënt m = 2.
y = x2
De vergelijking van de raaklijn in (1,1) is dus:
y-1 = 2(x – 1)
y = 2x -1

Opmerking

Die “d” in de Leibnitz-notatie staat voor differential en slaat op een oneindig (infinitesimaal) kleine verandering.
Eigenlijk is df(x) / dx hetzelfde als Df(x) / Dx, maar dan voor een oneindig kleine Dx.
Df(x)
Dx -> 0
df(x)
Dus, waar we in de fysica voor gemiddelde snelheid vm = Ds/Dt schrijven, is de ogenblikkelijke snelheid: v = ds/dt.
Differentiaalrekening werd in het einde van de 17e eeuw zowat gelijktijdig door Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibnitz ontwikkeld.

Afleidbaarheid

Niet elke functie is afleidbaar in elk punt van de curve.
Bijvoorbeeld:
Deze functie is niet continu: voor de x-waarde waar ze de sprong maakt, is de afgeleide niet bestaande.
De functie is wel continu, maar de raaklijn is anders in het punt x = 0 gezien van de linkerkant dan van de rechterkant. De functie is dus niet afleidbaar in het punt x = 0.